intro : 1 ~ N 까지의 합을 구하는 공식은 N(N+1)/2 이다.

문제

오늘도 서준이는 알고리즘의 수행시간 수업 조교를 하고 있다. 아빠가 수업한 내용을 학생들이 잘 이해했는지 문제를 통해서 확인해보자. 입력의 크기 n이 주어지면 MenOfPassion 알고리즘 수행 시간을 예제 출력과 같은 방식으로 출력해보자.

MenOfPassion 알고리즘은 다음과 같다.

MenOfPassion(A[], n) {
    sum <- 0;
    for i <- 1 to n - 1
        for j <- i + 1 to n
            sum <- sum + A[i] × A[j]; # 코드1
    return sum;
}

입력

첫째 줄에 입력의 크기 n(1 ≤ n ≤ 500,000)이 주어진다.

출력

첫째 줄에 코드1 의 수행 횟수를 출력한다. 둘째 줄에 코드1의 수행 횟수를 다항식으로 나타내었을 때, 최고차항의 차수를 출력한다. 단, 다항식으로 나타낼 수 없거나 최고차항의 차수가 3보다 크면 4를 출력한다.

문제 풀이

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        long n = Long.parseLong(br.readLine());
        System.out.println((n - 1) * n / 2);
        System.out.println(2);
    }
}

문제 해석

위 문제에서 주어진 MenOfPassion 을 코드로 나타내면 다음과 같다.

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        long n = Long.parseLong(br.readLine());
        int count = 0;
        for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                System.out.print(i + "," + j + "  ");
                count++;
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("count = " + count);
    }
}

출력결과도 같이 눈으로 보도록 하겠다.

7
1,2  1,3  1,4  1,5  1,6  1,7  
2,3  2,4  2,5  2,6  2,7  
3,4  3,5  3,6  3,7  
4,5  4,6  4,7  
5,6  5,7  
6,7  
count = 21

결국 우리가 구해야하는 반복횟수는 입력값이 7인 경우 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 인 값이다. 이 합 공식은 다음과 같은 공식과 굉장히 유사하다.

1 부터 10 까지의 합을 구하는 공식
공식 : n(n+1)/2
결과 : 55

위 공식을 응용한다면, 반복횟수의 합은 1부터 n-1 까지의 합을 구하는 것과 같기에 (n-1)*n/2 의 다항식을 도출할 수 있다.

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